OPERACIONES CON RELACIONES
Puesto que las relaciones binarias son conjuntos de pares ordenados, las nociones de intersección, diferencia simétrica, unión y diferencia de dos relaciones, se obtienen de manera similar a las correspondientes para conjuntos.
Entonces primeramente es necesario recordar dichas nociones para conjuntos.
a) La unión de dos conjuntos A y B, denotada por AB, es el conjunto cuyos elementos son exactamente los elementos de A ó B, ó de ambos.
Ejemplos:
1) Si A = {a, b}, B = {c, d}, entonces AB = {a, b,c, d}
2) Si A = {a, b}, B = {a, c}, entonces AB = {a, b, c}
3) Si A = {a,b}, B = {}, entonces AB = {a, b}
4) Si A = {a, b}, B = {c, {a, b}}, entonces AB = {a, b, c, {a, b}}
b) La intersección de dos conjuntos A y B, denotada por A B, es el conjunto cuyos elementos son exactamente los elementos que están tanto en A como en B.
Ejemplos:
1) {a, b} {a, c} = {a}
2) {a, b} {c, d} = {}
3) {a, b} {} = {}
c) La diferencia de dos conjuntos A y B, denotada por A B, es el conjunto que contiene exactamente aquellos elementos de A que no estan en B.
Ejemplos:
1) {a, b, c}{a} = {b, c}
2) {a, b, c}{a, d} = {b, c}
3) {a, b, c}{d, e} = {a, b, c}
d) La diferencia simetrica de dos conjuntos A y B, denotada por A B, es el conjunto que contiene todos los elementos que están en A o en B pero no en ambos, es decir, A B = (A B) (A B).
Ejemplos:
1) {a, b} {a, c}={b, c}
2) {a, b} {}= {a, b}
3) {a, b} {a, b}={}
Completor de r
Puede definirse el complemento de una relación como el como el conjunto de todos los pares ordenados del producto cartesiano AB que no estan en , y se representa como ó ~.
Ejemplo:
Sean y dos relaciones de X a Y y de U a V respectivamente. Además tenemos que
Dom()={a, b, c} Cod()={A, B, C}, Dom()={a,b} Cod()={B,C} y sean
={(a, A), (a, B), (b, C)} y ={(a, B), (b, C)}
Entonces XY={(a, A), (a, B), (a, C), (b, A), (b, B), (b, C), (c, A), (c, B), (c, C)}
Por lo tanto ={(a, c), (b, A), (b, B), (c, A), (c, B), (c, C)}
Y para UV ={(a, B), (a, C), (b, B), (b, C)}
se tiene que ={(a, C), (b, B)}.
El complemento de r de un número positivo N en base r con una parte entera de n dígitos, será definido como el complemento de r a n y se define como rn-N;
El complemento de 10 de un número decimal se puede formar dejando todos los ceros significativos sin cambios se resta el primer dígito del cero menos significativo de 10 y, entonces se restan todos los pocos dígitos menos significativos menores de 9.
Ejemplo:
Obtener el complemento de 10 de (52520)10
105-52520=47480
El complemento de 2 puede formarse dejando todos los ceros menos significativos y el primer dígito diferente de 0 sin cambio, entonces se reemplazan los 1 por 0 y los 0 por 1 en los otros dígitos mas significativos.
Ejemplo :
Obtener el complemento de 2 de (101100)2
26-(101100)2 = (100000)2-(101100)2=(0.1010)2
DEFINICION DE INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
La INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS es la operación binaria, en la cual dos conjuntos cualesquiera, A y B, reunen sus elementos COMUNES para formar otro conjunto I.
SIMBOLOGIA DE LA INTERSECCION DE CONJUNTOS
El símbolo de la INTERSECCION es: Ç
La INTERSECCIÓN del conjunto A y el conjunto B, se representa como: AÇB
REALIZACION DE LA INTERSECCION DE CONJUNTOS EN FORMA EXTENSIVA
Sean dos conjuntos A y B.
Sea A definido asi: A = {j, u, g, o, d, e}
Sea B definido asi: B = {m, a, n, g, o}
La INTERSECCIÓN se representa asi AÇB = {g, o}
Los elementos que se repiten en los dos conjuntos SE ESCRIBEN UNA SOLA VEZ en el resultado.
DIAGRAMA DE VENN DE UNA INTERSECCION DE CONJUNTOS
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, su INTERSECCION estará representada por el área rellenada de color:
La UNION DE CONJUNTOS es la operación binaria, en la cual dos conjuntos cualesquiera, A y B, reunen sus elementos para formar otro conjunto U.
SIMBOLOGIA DE LA UNION DE CONJUNTOS
El símbolo de la UNIÓN es: È
La unión del conjunto A y el conjunto B, se representa como: AÈB
REALIZACION DE LA UNION DE CONJUNTOS EN FORMA EXTENSIVA
Sean dos conjuntos A y B.
Sea A definido asi: A = {j, u, g, o, d, e}
Sea B definido asi: B = {m, a, n, g, o}
La unión se representa asi AÈB = {j, u, g, o, d, e, m, a, n}
Los elementos que se repiten en los dos conjuntos SE ESCRIBEN UNA SOLA VEZ en el resultado.
DIAGRAMA DE VENN DE UNA UNION DE CONJUNTOS
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, su UNIÓN estará representada por el área rellenada de color:
El conjunto inverso es otra denominación del conjunto complementario, es decir, el conjunto inverso de A es el conjunto de los elementos del universal que no están en A.
Si el universal U son las vocales, U={a, e, i, o, u} y A = {a, e, o} el inverso de A = {i, u}
Conjunto vacío es un conjunto sin elementos.
Conjunto infinito es el que tiene el mismo número de elementos que algún subconjunto propio suyo. Por ejemplo el número de números naturales, N={1, 2, 3, 4, ....} y el de pares 2N = {2, 4, 6, 8,..} es el mismo (basta escribir uno bajo otro: hay el mismo número de elementos en ambas filas):
1, 2, 3, 4, ....
2, 4, 6, 8, ...
Luego los números naturales tienen el mismo número de elementos que los pares, que son un subconjunto propio de él, luego los naturales son un conjunto infinito.
Composición
Una ley de composici´on interna (l.c.i) es una ley que asocia a cada (todo),
par de lementos de A otro elemento de A.
Ejemplos: La suma en N y la suma en Z. La suma de vectores. El producto
en N y en Z. La resta en Z.
Ejercicio: La resta en N y el produto escalar de vectores no son leyes de
composici´on intrena ¿por qu´e?
En el ejemplo anterior y el apartado 1 del ejercicio se pone de manifiesto que
una ley no es, ni deja de ser l.c.i. Depende del conjunto en que se establezca
pues la resta es l.c.i en Z pero no lo es en N.
En un conjunto con m´as de un elemento se pueden definir ”muchas” l.c.i.,
por ejemplo en Z lo son la suma, la resta y el producto; para cada una de
ellas utilizaremos un signo distinto.
3 + 7 = 10 3 − 7 = −4 3.7 = 21.
Si al conjunto A se el ha dotado de una l.c.i que se denota por ∗ lo representaremos mediante (A, ∗). Notar que (Z, +) = ( 6 Z, .) y (Z, +) = ( 6 N, +).
PROPIEDADES DE LAS LEYES DE COMPOSICION INTERNAS
Una l.c.i (∗) en un conjunto A es:
CONMUTATIVA: Si ∀ x, y ∈ A se verivica x ∗ y = y ∗ x.
Por lo tanto no es conmutativa si existe una pareja de elementos de A tal
que x ∗ y =6 y ∗ x.
ASOCIATIVA: Si ∀ x, y, z ∈ A x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z
No es asociativa si ∃x, y, z ∈ A tales que x ∗ (y ∗ z) = ( 6 x ∗ y) ∗ z.
